志第十五　历一

历法尚矣。自尧命羲、和，历象日月星辰，以闰月定四时成岁，其事略见于《书》。而夏、商、周以三统改正朔，为历固已不同属浙江）人。出身“细门孤族”，少年时受业太学，师事班彪。，而其法不传。至汉造历，始以八十一分为统母，其数起于黄钟之龠，盖其法一本于律矣。其后刘歆又以《春秋》、《易象》推合其数，盖傅会之说也。至唐一行始专用大衍之策，则历术又本于《易》矣。盖历起于数，数者，自然之用也。其用无穷而无所不通，以之于律、于《易》，皆可以合也。然其要在于候天地之气，以知四时寒暑，而仰察天日月星之行运，以相参合而已。然四时寒暑无形而运于下，天日月星有象而见于上，二者常动而不息。一有一无，出入升降，或迟或疾，不相为谋。其久而不能无差忒者，势使之然也。故为历者，其始未尝不精密，而其后多疏而不合，亦理之然也。不合，则屡变其法以求之。自尧、舜、三代以来，历未尝同也。
唐终始二百九十余年，而历八改。初曰《戊寅元历》，曰《麟德甲子元历》，曰《开元大衍历》，曰《宝应五纪历》，曰《建中正元历》，曰《元和观象历》，曰《长庆宣明历》，曰《景福崇玄历》而止矣。
高祖受禅，将治新历，东都道士傅仁均善推步之学，太史令庾俭、丞傅弈荐之。诏仁均与俭等参议，合受命岁名为《戊寅元历》。乃列其大要，所可考验者有七，曰：“唐以戊寅岁甲子日登极，历元戊寅，日起甲子，如汉《太初》，一也。冬至五十余年辄差一度，日短星昴，合于《尧典》，二也。周幽王六年十月辛卯朔，入蚀限，合于《诗》，三也。鲁僖公五年壬子冬至，合《春秋命历序》，四也。月有三大、三小，则日蚀常在朔，月蚀常在望，五也。命辰起子半，命度起虚六，符阴阳之始，六也。立迟疾定朔，则月行晦不东见，朔不西朓，七也。”高祖诏司历起二年用之，擢仁均员外散骑侍郎。
三年正月望及二月、八月朔，当蚀，比不效。六年，诏吏部郎中祖孝孙考其得失。孝孙使算历博士王孝通以《甲辰历》法诘之曰：“‘日短星昴，以正仲冬。’七宿毕见，举中宿言耳。举中宿，则余星可知。仁均专守昴中，执文害意，不亦谬乎？又《月令》仲冬‘昏东壁中’，明昴中非为常准。若尧时星昴昏中，差至东壁，然则尧前七千余岁，冬至昏翼中，日应在东井。井极北，去人最近，故暑；斗极南，去人最远，故寒。寒暑易位，必不然矣。又平朔、定朔，旧有二家。三大、三小，为定朔望；一大、一小，为平朔望。日月行有迟速，相及谓之合会。晦、朔无定，由时消息。若定大小皆在朔者，合会虽定，而蔀、元、纪首三端并失。若上合履端之始，下得归余于终，合会有时，则《甲辰元历》为通术矣。”仁均对曰：“宋祖冲之立岁差，隋张胄玄等因而修之。虽差数不同，各明其意。孝通未晓，乃热南斗为冬至常星。夫日躔宿度，如垂阝传之过，宿度既差，黄道随而变矣。《书》云：‘季秋月朔，辰弗集于房。’孔氏云：‘集，合也。不合则日蚀可知。’又云：‘先时者杀无赦，不及时者杀无赦。’既有先后之差，是知定朔矣。《诗》云：‘十月之交，朔月辛卯。’又《春秋传》曰：‘不书朔，官失之也。’自后历差，莫能详正。故秦、汉以来，多非朔蚀。宋御史中丞何承天微欲见意，不能详究，乃为散骑侍郎皮延宗等所抑。孝通之语，乃延宗旧说。治历之本，必推上元，日月如合璧，五星如连珠，夜半甲子朔旦冬至。自此七曜散行，不复余分普尽，总会如初。唯朔分、气分，有可尽之理，因其可尽，即有三端。此乃纪其日数之元尔。或以为即夜半甲子朔冬至者，非也。冬至自有常数，朔名由于月起，月行迟疾匪常，三端安得即合。故必须日月相合与至同日者，乃为合朔冬至耳。”孝孙以为然，但略去尤疏阔者。
九年，复诏大理卿崔善为与孝通等较定，善为所改凡数十条。初，仁均以武德元年为历始，而气、朔、迟疾、交会及五星皆有加减。至是复用上元积算。其周天度，即古赤道也。
贞观初，直太史李淳风又上疏论十有八事，复诏善为课二家得失，其七条改从淳风。十四年，太宗将亲祀南郊，以十一月癸亥朔，甲子冬至。而淳风新术，以甲子合朔冬至，乃上言：“古历分日，起于子半。十一月当甲子合朔冬至，故太史令傅仁均以减余稍多，子初为朔，遂差三刻。”司历南宫子明、太史令薛颐等言：“子初及半，日月未离。淳风之法，较春秋已来晷度薄蚀，事皆符合。”国子祭酒孔颖达等及尚书八座参议，请从淳风。又以平朔推之，则二历皆以朔日冬至，于事弥合。且平朔行之自古，故《春秋传》或失之前，谓晦日也。虽癸亥日月相及，明日甲子，为朔可也。从之。十八年，淳风又上言：“仁均历有三大、三小，云日月之蚀，必在朔望。十九年九月后，四朔频大。”诏集诸解历者详之，不能定。庚子，诏用仁均平朔，讫麟德元年。
仁均历法祖述胄玄，稍以刘孝孙旧议参之，其大最疏于淳风。然更相出入，其有所中，淳风亦不能逾之。今所记者，善为所较也。
《戊寅历》上元戊寅岁至武德九年丙戌，积十六万四千三百四十八算外。
章岁六百七十六。亦名行分法。章闰二百四十九。章月八千三百六十一。
月法三十八万四千七十五。日法万三千六。时法六千五百三度法、气法九千四百六十四气时法千一百八十三。
岁分三百四十五万六千六百七十五。岁余二千三百一十五。周分三百四十五万六千八百四十五半。斗分一千四百八十五半。没分七万六千八百一十五。没法千一百三。历日二十七，历余万六千六十四。历周七十九万八千二百。历法二万八千九百六十八。余数四万九千六百三十五。
章月乘年，如章岁得一，为积月。以月法乘积月，如日法得一，为朔积日；余为小余。
日满六十，去之；余为大余。命甲子算外，得天正平朔。加大余二十九、小余六千九百一，得次朔。加平朔大余七、小余四千九百七十六、小分四之三，为上弦。又加，得望。又加，得下弦。余数乘年，如气法得一，为气积日。命日如前，得冬至。加大余十五、小余二千六十八、小分八之一，得次气日。加四季之节大余十二、小余千六百五十四、小分四，得土王。凡节气小余，三之，以气时法而一，命子半算外，各其加时。置冬至小余，八之，减没分，余满没法为日。加冬至去朔日算，依月大小去之，日不满月算，得没日。余分尽为减。加日六十九、余七百八，得次没。
以平朔、弦、望入气日算乘损益率，如十五得一，以损益盈缩数，为定盈缩分。凡不尽半法已上亦从一。以历法乘朔积日，满历周去之；余如历法得一，为日。命日算外，得天正平朔夜半入历日及余。次日加一，累而裁之。若以万四千四百八十四乘平朔小余，如六千五百三而一，不尽，为小分，以加夜半入历日。加之满历日及余，去之，得平朔加时所入，加历日七、余万一千八十四、小分三千九百九十五，命如前，得上弦。又加，得望、下弦及后朔。历行分与次日相减，为行差，后多为进，后少为退。减去行分六百七十六，为差法。各置平朔、弦、望加时入历日余，乘所入日损益率，以损益其下积分，差法除，为定盈缩积分。置平朔、弦、望小余，各以入气积分盈加、缩减之，以入历积分盈减、缩加之，满若不足、进退日法，皆为定大小余，命日甲子算外。以岁分乘年为积分，满周分去之；余如度法得一，为度。命以虚六，经斗去分，得冬至日度及分。以冬至去朔日算及分减之，得天正平朔前夜半日度及分。以小分法十四约度分为行分。凡小分满法成行分，行分满法成度。若注历，又以二十六约行分。月星准此。斗分百七十七，小分七半。累加一度，得次日。以行分法乘朔、望定小余，以九百二十九除为度分，又以十四约为行分。以加夜半度，为朔、望加时日度。定朔加时，日月同度。望则因加日度百八十二、行分四百二十六、小分十太。以夜半入历日余乘行差，满历法得一，以进加、退减历行分，为行定分。以朔定小余乘之，满日法得一，为行分。以减加时月度，为朔、望夜半月度。求次日，加月行定分，累之。
○岁星率三百七十七万五千二十三。
终日三百九十八，行分五百九十六，小分七。平见，入冬至初日，减行分五千四百一十一。自后日损所减百二十分。立春初，日增所加六十分。春分，均加四日。清明毕谷雨，均加五日。立夏毕大暑，均加六日。立秋初日，加四千八十分。乃日损所加六十七分。入寒露，日增所减百一十七分。入小雪，毕大雪，均减八日。初见，顺，日行百七十一分，日益迟一分，百一十四日行十九度二百九分。而留，二十六日。乃退，日九十七分，八十四日退十二度三十六分。又留，二十五日五百九十六分，小分七。凡五星留日有分者，以初定见日分加之。若满行分法，去之，又增一日。乃顺，初日行六十分，日益疾一分，百一十四日行十九度四百三十七分。而伏。
○荧惑
率七百三十八万一千二百二十三。
终日七百七十九，行分六百二十六，小分三。
平见，入冬至初日，减万六千三百五十四分。乃日损所减五百四十五分。入大寒，日增所加四百二十六分。入雨水后，均加二十九日。立夏初日，加万九千三百九十二分。乃日损所加二百一十三分。入立秋初，依平。入处暑，日增所减百八十四分。入小雪后，均减二十五日。
初见，入冬至，初率二百四十一日行百六十三度。自后二日损日度各一，自百二十八日，率百七十七日行九十九度，毕百六十一日。又三日损一，尽百八十二日，率百七十日行九十二度，毕百八十八日。乃三日益一，尽二百二十七日，率百八十三日行百五度。又二日益一，尽二百四十九日，率百九十四日行百一十六度。又每日益一，尽二百一十日，率二百五十五日行百七十七度，毕三百三十七日。乃二日损一，尽大雪，复初见。入小寒后，三日去日率一。入雨水，毕立夏，均去日率二十。自后三日减所去一日，毕小暑，依平，为定日率。若入处暑，毕秋分，皆去度率六。各依冬至后日数而损益之，又依所入之气以减之，为前疾日度率。若初行入大寒，毕大暑，皆差行，日益迟一分；其余皆平行。若入白露，毕秋分，初迟，日行半度，四十日行二十度。即去日率四十、度率二十，别为半度之。行讫，然后求平行分，续之。以行分法乘度定率，如日定率而一，为平行分。不尽，为小分。求差行者，减日率一，又半之，加平行分，为初日行分。各尽其日度而迟。初日行三百二十六分，日益迟一分半，六十日行二十五度五分。其前疾去度六者，行三十一度五分。此迟初日加六十七分、小分六十分之三十六。
而留，十三日。前疾去日者，分日于二留，奇从后留。乃退，日百九十二分，六十日退十七度二十八分。又留，十二日六百二十六分，小分三。
又顺。后迟，初日行二百三十八分，日益疾一分半，六十日行二十五度三十五分。此迟在立秋至秋分者，加六度，行三十一度三十五分。此迟初日加行分六十七、小分六十分之三十六。而后疾。入冬至，初率二百一十四日行百三十六度。乃每日损一，尽三十七日，率百七十七日行九十九度。又二日损一，尽五十七日，率百六十七日行八十九度，毕七十九日。又三日益一，尽百三十日，率百八十四日行百六度。又二日益一，尽百四十四日，率百九十一日行百一十三度。又每日益一，尽百九十日，率二百三十七日行百五十九度。又每日益二，尽二百日，率二百五十七日行百七十九度。又每日益一，尽二百一十日，率二百六十七日行百八十九度，毕二百五十九日。乃二日损一，毕大雪，复初。后迟加六度者，此后疾去度率六，为定。各依冬至后日数而损益之，为后疾日度率。若入立夏，毕夏至，日行半度，尽六十日，行三十度。若入小暑，毕大暑，尽四十日，行二十度皆去日度率，别为半度之。行讫，然后求平行分，续之。各尽其日度而伏。
○镇星
率三百五十七万八千二百四十六。
终日三百七十八，行分六十一。
平见，入冬至初日，减四千八百一十四分。乃日增所减七十九分。入小寒，均减九日。乃每气损所减一日。入夏至初日，均减二日。自后十日损所减一日。小暑五日外，依平。入大暑，日增所加百八十一分。入处暑，均加九日。入白露初日，加六千二分。乃日损所加百三十三分。入霜降，日增所减七十九分。初见，顺，日行六十分，八十三日行七度二百四十八分。而留，三十八日。乃退，日四十一分，百日退六度四十四分。又留，三十七日六十一分。乃顺，日行六十分，八十三日行七度二百四十八分而伏。
○太白
率五百五十二万六千二百。
终日五百八十三，行分六百二十，小分八。
晨见伏三百二十七日，行分六百二十，小分八。夕见伏二百五十六日。
晨平见，入冬至，依平。入小寒，日增所加六十六分。入立春，毕立夏，均加三日。小满初日，加千九百六十四分。乃日损所加六十分。入夏至，依平。入小暑，日增所减六十分。入立秋，毕立冬，均减三日。小雪初日，减千九百六十四分。乃日损所减六十六分。初见，乃退，日半度，十日退五度。而留，九日。乃顺，迟，差行，日益疾八分，四十日行三十度。入大雪毕小满者，依此。入芒种，十日减一度。入小暑，毕霜降，均减三度。入立冬，十日损所减一度，毕小雪。皆为定度。以行分法乘定度，四十除，为平行分。又以四乘三十九，以减平行，为初日行分。平行，日一度，十五日行十五度。入小寒，十日益日度各一。入雨水后，皆二十一日行二十一度。入春分后，十日减一。毕立夏，依平。入小满后，六日减一。毕立秋，日度皆尽，无平行。入霜降后，四日加一。毕大雪，依平。疾，百七十日行二百四度。前顺迟减度者，计所减之数，以益此度为定。而晨伏。
夕平见，入冬至，日增所减百分。入启蛰，毕春分，均减九日。清明初日，减五千九百八十六分。乃日损所减百分。入芒种，依平。入夏至，日增所加百分。入处暑，毕秋分，均加九日。寒露初日，加五千九百八十六分。乃日损所减百分。入大雪，依平。初见，顺疾，百七十日行二百四度。入冬至毕立夏者，依此。入小满，六日加一度。入夏至，毕小暑，均加五度。入大暑，三日减一度。入立秋，毕大雪，依平。从白露毕春分，皆差行，日益疾一分半。以一分半乘百六十九而半之，以加平行，为初日行分。入清明，毕于处暑，毕平行。乃平行，日一度，十五日行十五度。入冬至后，十日减日度各一。入启蛰，毕芒种，皆九日行九度。入夏至后，五日益一。入大暑，依平。入立秋后，六日加一。毕秋分，二十五日行二十五度。入寒露，六日减一。入大雪，依平。顺迟，日益迟八分，四十日行三十度。前加度者，此依数减之。又留，九日。乃退，日半度，十日退五度。而夕伏。
○辰星
率百九万六千六百八十三终日百一十五，行分五百九十四，小分七。晨见伏六十三日，行分五百九十四，小分七。
夕见伏五十二日。
晨平见，入冬至，均减四日。入小寒，依平。入立春后，均减三日。入雨水，毕立夏，应见不见。其在启蛰、立夏气内，去日十八度外、三十六度内，晨有木、火、土、金一星者，亦见。入小满，依平。入霜降，毕立冬，均加一日。入小雪，至大雪十二日，依平。若在大雪十三日后，日增所减一日。
初见，留，六日。顺迟，日行百六十九分。入大寒，毕启蛰，无此迟行。乃平行，日一度，十日行十度。入大寒后，二日去日度各一，毕于二十日，日度俱尽，无此平行。疾，日行一度六百九分，十日行十九度六分。前无迟行者，此疾日减二百三分，十日行十六度四分。而晨伏。
夕平见，入冬至后，依平。入谷雨，毕芒种，均减二日。入夏至，依平。入立秋，毕霜降，应见不见。其在立秋、霜降气内，夕有星去日如前者，亦见。入立冬，毕大雪，依平。
初见，顺疾，日行一度六百九分，十日行十九度六分。若入小暑，毕处暑，日减二百三分。乃平行，日一度，十日行十度。入大暑后，二日去日及度各一，毕于二十日，日度俱尽，无此平行。迟，日行百六十九分。若疾减二百三分者，即不须此迟行。又留，六日七分。而夕伏。
各以星率去岁积分，余反以减其率，余如度法得一为日，得冬至后晨平见日及分。以冬至去朔日算及分加之，起天正，依月大小计之，命日算外，得所在日月。金、水各以晨见伏日及分加之，得夕平见。各以其星初日所加减之分，计后日损益之数以损益之。讫，乃以加减平见为定见。其加减分皆满行分法为日。以定见去朔日及分加其朔前夜半日度，又以星初见去日度，岁星十四，太白十一，荧惑、镇星、辰星皆十七，晨减、夕加之，得初见宿度。求次日，各加一日所行度及分。荧惑、太白有小分者，各以日率为母。其行有益疾迟者，副置一日行分，各以其差疾益、迟损，乃加之。留者因前，退则依减，伏不注度。顺行出斗，去其分；退行入斗，先加分。讫，皆以二十六约行分，为度分。
交会法千二百七十四万一千二百五八分。交分法六百三十七万六百二九分。
朔差百八万五千四百九十四二分。望分六百九十一万三千三百五十。交限五百八十二万七千八百五十五八分。望差五十四万二千七百四十七一分。
外限六百七十六万七百八十二九分。中限千二百三十五万一千二十五八分。内限千二百一十九万一千四百五十八七分。以朔差乘积月，满交会法去之；余得天正月朔入平交分。求望，以望分加之。求次月，以朔差加之。其朔望，入大雪，毕冬至，依平。入小寒，日加气差千六百五十分。入启蛰，毕清明，均加七万六千一百分。自后日损所加千六百五十分。入芒种，毕夏至，依平。加之满法，去之。若朔交入小寒毕雨水，及立夏毕小满，值盈二时已下，皆半气差加之。二时已上则否。如望差已下、外限已上有星伏，木、土去见十日外，火去见四十日外，金晨伏去见二十二日外，有一星者，不加气差。入小暑后，日增所减千二百分。入白露，毕霜降，均减九万五千八百二十五分。立冬初日，减六万三千三百分，自后日损所减二千一百一十分。减若不足，加法，乃减之，余为定交分。朔入交分，如交限内限已上、交分中限已下有星伏如前者，不减。不满交分法者，为在外道；满去之，余为在内道。如望差已下，为去先交分，交限已上，以减交分，余为去后交分。皆三日法约，为时数。望则月蚀，朔在内道则日蚀。虽在外道，去交近，亦蚀。在内道，去交远，亦不蚀。
置蚀望定小余。入历一日，减二百八十；若十五日，即加之；十四日，加五百五十；若二十八日，即减之；余日皆盈加、缩减二百八十：为月蚀定余。十二乘之，时法而一，命子半算外；不尽，得月蚀加时。约定小余如夜漏半已下者，退日算上。
置蚀朔定小余。入历一日，即减二百八十；若十五日，即加之；十四日，加五百五十；若二十八日，即减之；为定。后不入四时加减之限。其内道，春，去交四时已上入历，盈加、缩减二百八十；夏，盈加、缩减二百八十；秋，去交十一时已下，惟盈加二百八十，已上者，盈加五百五十，缩加二百八十；冬，去交五时已下，惟盈加二百八十：皆为定余。十二乘之，时法而一，命子半算外；不尽，为时余，副之。仲辰半前，以副减法为差率；半后，退半辰，以法加余，以副为差率。季辰半前，以法加副为差率；半后，退半辰，以法加余，倍法加副，为差率。孟辰半前，三因其法，以副减之，余为差率；半后，退半辰，以法加余，又以法加副，乃三因其法，以副减之，为差率。又置去交时数，三已下，加三；六已下，加二；九已下，加一；九已上，依数；十二已上，从十二。若季辰半后，孟辰半前，去交六时已上者，皆从其六。六时已下，依数不加。皆乘差率，十四除，为时差。子午半后，以加时余；卯酉半后，以减时余；加之满若不足，进退时法：孟谓寅、巳、申，仲谓午、卯、酉，季谓辰、未、戌。得日蚀加时。
望去交分，冬先后交，皆去二时；春先交，秋后交，去半时；春后交，秋先交，去二时；夏则依定。不足去者，既。乃以三万六千一百八十三为法而一，以减十五，余为月蚀分。
朔去交，在内道，五月朔，加时在南方，先交十三时外；六月朔，后交十三时外者，不蚀。启蛰毕清明，先交十三时外，值缩，加时在未西；处暑毕寒露，后交十三时外，值盈，加时在巳东，皆不蚀。交在外道，先后去交一时内者，皆蚀。若二时内，及先交值盈、后交值缩二时外者，亦蚀。夏去交二时内，加时在南方者，亦蚀。若去分、至十二时内，去交六时内者，亦蚀。若去春分三日内，后交二时；秋分三日内，先交二时内者，亦蚀。诸去交三时内有星伏，土、木去见十日外，火去见四十日外，金晨伏去见二十二日外，有一星者，不蚀。各置去交分。秋分后，毕立春，均减二十二万八百分。启蛰初日，毕芒种，日损所减千八百一十分。夏至后，毕白露，日增所减二千四百分。以减去交分，余为不蚀分。不足减，反相减为不蚀分。亦以减望差为定法。后交值缩者，直以望差为定法。其不蚀分，大寒毕立春，后交五时外，皆去一时。时差值减者，先交减之，后交加之。时差值加者，先交加之，后交减之。不足减者，皆既。十五乘之，定法而一，以减十五，余为日蚀分。
置日月蚀分，四已下，因增二；五已下，因增三；六已上，因增五；各为刻率，副之。以乘所入历损益率，四千五十七为法而一。值盈，反其损益；值缩，依其损益。皆损益其副，为定用刻。乃六乘之，十而一，以减蚀甚辰刻，为亏初。又四乘之，十而一。以加食甚辰刻，为复满。